:: Prof. Aldemir Jucá
Razões Trigonométricas
Em um triângulo retângulo as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente são assim definidas:
seno = | cateto oposto ______________ |
hipotenusa | |
cos seno = | cateto adjacente ______________ |
hipotenusa | |
tan seno = | cateto oposto ______________ |
cateto adjacente |
Veja no triângulo ABC abaixo:
Das igualdades acima é possível retirarmos algumas observações interessantes:
1) Para todo ângulo | α ≠ | π _____ |
+ kπ, temos que: | tanα = | senα ______ |
2 | cosα |
2) Se α + β = 90º, então senα = cosβ.
3) Se α + β = 90º, então tgα.tgβ = 1.
4) Para todo ânguloα, temos que sen²α + cos²α = 1.
Uma tabela de valores importantes
30ͦ | 45ͦ | 60ͦ | |
sen | 1 __ 2 |
√2 ___ 2 |
√2 ___ 3 |
cos | √3 __ 2 |
√2 ___ 2 |
1 ___ 3 |
tg | √3 ___ 3 |
1 | √3 |
Seno e cosseno de ângulos obtusos
→ sen (180 - α) = senα
→ cos (180 - α) = -cosα
estas informações nos permite determinar os valores de razões trigonométricas de ângulos obtusos, por exemplo:
sen120º = sen (180º - 120º) = sen60º = | √3 ____ |
2 |
— Lei dos senos
Em um triângulo qualquer ABC seus lados são proporcionais ao seno do ângulo oposto.
a ____ = |
b ____ = |
c ____ |
senA | senB | senC |
Veja: Na figura1 temos um triângulo ABC inscrito em uma circunferência, de lados a, b, c e ângulos As figuras 2, 3 e 4 representam o mesmo triângulo na qual traçamos respectivamente os diâmetros BD, AE e BF.
Analisando individualmente as figuras 2, 3 e 4, é possível afirmar que:
Figura 2
BD é diâmetro → BD = 180º; BĈD é um ângulo inscrito → BD = BD/2 daí BĈD = 90º α = δ, pois são ângulos inscritos que correspondem ao mesmo arco BC.
Como BĈD = 90º então o triângulo BĈD é retângulo e, portanto: senδ =
senδ = | a ____ = |
a ____ → |
senα = | a ____ → |
a ____ = |
2R |
BD | 2R | 2R | senα |
Figura 3
AE é diâmetro → ÂE = 180º; AĈE é um ângulo inscrito AĈE = ÂE/2, daí; AĈE = 90º α = ρ, pois são ângulos inscritos que correspondem ao mesmo arco ÂC. Como AĈE = 90º então o triângulo é retângulo e, portanto:
senρ = | b ____ = |
b ____ → |
senβ = | b ____ → |
b ____ = |
2R |
AE | 2R | 2R | senβ |
Figura 4
BF é diâmetro → BF = 180º; BÂF é um ângulo inscrito →BÂF = BF/2, daí BÂF = 180º; θ = φ, pois são ângulos inscritos que correspondem ao mesmo arco AB. Como BÂF = 90º então o triângulo BAF é retângulo e, portanto:
senø = | c ____ = |
c ____ → |
senθ = | c ____ → |
c ____ = |
2R |
BF | 2R | 2R | senθ |
Das conclusões acima obtemos:
|
— Lei dos cossenos
Por Pitágoras no triângulo AHC temos: b2 = h2 + (a – m)2 (i)
Novamente Pitágoras em AHB temos: c2 = h2 + m2 (ii)
Subtraindo as igualdades (i) e (ii) obtemos:
b2 – c2 = h2 – h2 + (a – m)2 – m2
b2 – c2 = a2 –2am + m2 – m2
b2 – c2 = a2 – 2am
b2 = a2 + c2 – 2am, observe que no triângulo AHB, cosβ = m/c e portanto...
b2 = a2 + c2 –2ac.cosβ m = c.cosβ
Analogamente podemos escrever:
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosα
c2 = a2 + b2 – 2ab.cosα
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Para saber Mais
TABELA TRIGONOMÉTRICA | |||
Ângulo | sen | cos | tg |
1 | 0,017452 | 0,999848 | 0,017455 |
2 | 0,034899 | 0,999391 | 0,034921 |
3 | 0,052336 | 0,99863 | 0,052408 |
4 | 0,069756 | 0,997564 | 0,069927 |
5 | 0,087156 | 0,996195 | 0,087489 |
6 | 0,104528 | 0,994522 | 0,105104 |
7 | 0,121869 | 0,992546 | 0,122785 |
8 | 0,139173 | 0,990268 | 0,140541 |
9 | 0,156434 | 0,987688 | 0,158384 |
10 | 0,173648 | 0,984808 | 0,176327 |
11 | 0,190809 | 0,981627 | 0,19438 |
12 | 0,207912 | 0,978148 | 0,212557 |
13 | 0,224951 | 0,97437 | 0,230868 |
14 | 0,241922 | 0,970296 | 0,249328 |
15 | 0,258819 | 0,965926 | 0,267949 |
16 | 0,275637 | 0,961262 | 0,286745 |
17 | 0,292372 | 0,956305 | 0,305731 |
18 | 0,309017 | 0,951057 | 0,32492 |
19 | 0,325568 | 0,945519 | 0,344328 |
20 | 0,34202 | 0,939693 | 0,36397 |
21 | 0,358368 | 0,93358 | 0,383864 |
22 | 0,374607 | 0,927184 | 0,404026 |
23 | 0,390731 | 0,920505 | 0,424475 |
24 | 0,406737 | 0,913545 | 0,445229 |
25 | 0,422618 | 0,906308 | 0,466308 |
26 | 0,438371 | 0,898794 | 0,487733 |
27 | 0,45399 | 0,891007 | 0,509525 |
28 | 0,469472 | 0,882948 | 0,531709 |
29 | 0,48481 | 0,87462 | 0,554309 |
30 | 0,5 | 0,866025 | 0,57735 |
31 | 0,515038 | 0,857167 | 0,600861 |
32 | 0,529919 | 0,848048 | 0,624869 |
33 | 0,544639 | 0,838671 | 0,649408 |
34 | 0,559193 | 0,829038 | 0,674509 |
35 | 0,573576 | 0,819152 | 0,700208 |
36 | 0,587785 | 0,809017 | 0,726543 |
37 | 0,601815 | 0,798636 | 0,753554 |
38 | 0,615661 | 0,788011 | 0,781286 |
39 | 0,62932 | 0,777146 | 0,809784 |
40 | 0,642788 | 0,766044 | 0,8391 |
41 | 0,656059 | 0,75471 | 0,869287 |
42 | 0,669131 | 0,743145 | 0,900404 |
43 | 0,681998 | 0,731354 | 0,932515 |
44 | 0,694658 | 0,71934 | 0,965689 |
45 | 0,707107 | 0,707107 | 1 |
46 | 0,71934 | 0,694658 | 1,03553 |
47 | 0,731354 | 0,681998 | 1,072369 |
48 | 0,743145 | 0,669131 | 1,110613 |
49 | 0,75471 | 0,656059 | 1,150368 |
50 | 0,766044 | 0,642788 | 1,191754 |
51 | 0,777146 | 0,62932 | 1,234897 |
52 | 0,788011 | 0,615661 | 1,279942 |
53 | 0,798636 | 0,601815 | 1,327045 |
54 | 0,809017 | 0,587785 | 1,376382 |
55 | 0,819152 | 0,573576 | 1,428148 |
56 | 0,829038 | 0,559193 | 1,482561 |
57 | 0,838671 | 0,544639 | 1,539865 |
58 | 0,848048 | 0,529919 | 1,600335 |
59 | 0,857167 | 0,515038 | 1,664279 |
60 | 0,866025 | 0,5 | 1,732051 |
61 | 0,87462 | 0,48481 | 1,804048 |
62 | 0,882948 | 0,469472 | 1,880726 |
63 | 0,891007 | 0,45399 | 1,962611 |
64 | 0,898794 | 0,438371 | 2,050304 |
65 | 0,906308 | 0,422618 | 2,144507 |
66 | 0,913545 | 0,406737 | 2,246037 |
67 | 0,920505 | 0,390731 | 2,355852 |
68 | 0,927184 | 0,374607 | 2,475087 |
69 | 0,93358 | 0,358368 | 2,605089 |
70 | 0,939693 | 0,34202 | 2,747477 |
71 | 0,945519 | 0,325568 | 2,904211 |
72 | 0,951057 | 0,309017 | 3,077684 |
73 | 0,956305 | 0,292372 | 3,270853 |
74 | 0,961262 | 0,275637 | 3,487414 |
75 | 0,965926 | 0,258819 | 3,732051 |
76 | 0,970296 | 0,241922 | 4,010781 |
77 | 0,97437 | 0,224951 | 4,331476 |
78 | 0,978148 | 0,207912 | 4,70463 |
79 | 0,981627 | 0,190809 | 5,144554 |
80 | 0,984808 | 0,173648 | 5,671282 |
81 | 0,987688 | 0,156434 | 6,313752 |
82 | 0,990268 | 0,139173 | 7,11537 |
83 | 0,992546 | 0,121869 | 8,144346 |
84 | 0,994522 | 0,104528 | 9,514364 |
85 | 0,996195 | 0,087156 | 11,43005 |
86 | 0,997564 | 0,069756 | 14,30067 |
87 | 0,99863 | 0,052336 | 19,08114 |
88 | 0,999391 | 0,034899 | 28,63625 |
89 | 0,999848 | 0,017452 | 57,28996 |
90 | 1 | 0 | - |
Caracteres Matemáticos e Lógicos
¹ | elevado a um |
² | ao quadrado |
³ | ao cubo |
½ | fração um meio |
¼ | fração um quarto |
¾ | fração três quartos |
> | maior que |
< | menor que |
± | mais ou menos |
− | sinal de subtração |
× | sinal de multiplicação |
÷ | sinal de divisão |
∗ | asterisco |
⁄ | barra de fração |
‰ | por-mil |
∫ | sinal de integral |
∑ | somatório |
∏ | PI |
√ | raiz quadrada |
∞ | infinito |
≈ | quase igual |
≅ | aproximadamente igual |
∝ | proporcional |
≡ | idêntico |
≠ | diferente |
≤ | menor ou igual |
≥ | maior ou igual |
∴ | consequentemente |
⋅ | ponto |
· | ponto do meio |
∂ | diferença parcial |
ℑ | parte imaginária do número |
ℜ | parte real do número |
′ | minuto |
″ | segundo |
° | grau |
∠ | ângulo |
⊥ | perpendicular |
∇ | nabla |
⊕ | soma direta |
⊗ | produto de vetor |
ℵ | alef |
ø | produto vazio |
Ø | produto vazio |
∈ | elemento de/pertence a |
∉ | não é elemento de |
∩ | interseção |
∪ | união |
⊂ | subconjunto de |
⊃ | superconjunto de |
⊆ | subconjunto de ou igual a |
⊇ | superconjunto de ou igual a |
∃ | existe |
∀ | qualquer |
∅ | vazio |
¬ | não lógico |
∧ | e lógico |
∨ | ou lógico |
↵ | retorno de carro |
← e → | setas simples |
↑ e ↓ | setas simples |
↔ | seta simples |
⇐ e ⇒ | setas duplas |
⇑ e ⇓ | setas duplas |
⇔ | seta dupla |
⌈ e ⌉ | teto (esquerdo e direito) |
⌊ e ⌋ | piso (esquerdo e direito) |
◊ | losango |
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