sábado, 22 de março de 2014

Matemática e suas Tecnologias - Aula II

PRINCÍPIOS DE CONTAGEM
:: Prof.: Alexandre Moura

A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória. Trata-se de uma parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois dele vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).


A primeira vista pode até parecer desnecessário a existência de métodos para contagem, entretanto, se o número de elementos a serem contados for muito grande, este trabalho torna-se quase impossível sem o uso de métodos especiais. Observe alguns exemplos:

Ex1) O código de acesso de um cartão de crédito é formado por seis dígitos decimais. Cada dígito é um número inteiro que pode assumir qualquer valor entre 0 e 9. Tendo extraviado seu cartão de crédito, Alexandre receia que um estranho o encontre e tente descobrir o código. Qual o número máximo de tentativas necessárias para que alguém tenha acesso a esse cartão de crédito?

Ex2) O jogo da Mega-Sena consiste no sorteio de 6 números distintos, escolhidos ao acaso, entre os números 1, 2, 3, 4, ..., 60. Uma aposta simples consiste na escolha ( pelo apostador ) de 6 números distintos entre os 60 possíveis, sendo premiadas aquelas que acertarem 4 ( quadra ), 5 ( quina ) ou todos os 6 ( sena ) números sorteados. Quantos jogos simples um apostador tem que fazer para garantir que vai acertar os 6 números sorteados?

O Princípio Fundamental da Contagem está diretamente associado a situações que envolvem as possibilidades de um determinado evento ocorrer e se constitui na estrutura básica da Análise Combinatória. Através dele desenvolvemos técnicas e métodos eficientes de contagem. Observe o exemplo abaixo:

O lanche escolar saudável é uma grande preocupação para os pais. Com a finalidade de melhorar a qualidade da alimentação dos estudantes a lanchonete de uma escola púbica resolveu preparar um cardápio especial oferecendo um combinado de sanduiche natural e suco. Para esse combinado há três opções para sanduíche ( frango, atum, vegetariano ) e cinco opções para suco ( laranja, cajá, maracujá, manga e graviola ). De quantas formas diferentes um aluno pode escolher o seu combinado?

Comentário:
A representação dessas possibilidades pode se feita por meio de um diagrama denominado por diagrama da árvore. Veja:


Portanto, fazendo a contagem das possibilidades chegamos a um resultado de 15 combinados diferentes.

Por outro lado, seria mais prático efetuar o produto , sendo 3 o número de formas de escolher o sanduíche e 5 o número de formas de escolher o suco.

Do problema, verificamos então que devemos dar 3 passos para a sua solução.

1º ) Verificar quais decisões devem ser tomadas para realizar a ação, destacando cada uma delas;
2º ) Verificar quantas possibilidades há para cada uma das decisões a serem tomadas ;
3º ) Efetuar o produto dos resultados obtidos.

Princípio fundamental da contagem - PFC

Se um determinado evento ocorre em várias etapas sucessivas e independentes onde P1 é o número de possibilidades de ocorrer a 1ª etapa, P2 o número de possibilidades de ocorrer a 2ª etapa, P3 o número de possibilidades de ocorrer a 3ª etapa, Pn o número de possibilidades de ocorrer a n-ésima etapa, então o número total de possibilidades de ocorrer esse evento é dado por P = P1. P2. P3. … . Pn.

Permutações Simples
Permutar é sinônimo de trocar. Intuitivamente, nos problemas de contagem, devemos associar a permutação à noção de misturar. Se temos n elementos distintos, então o numero de agrupamentos ordenados que podemos obter com todos esses n elementos é dado por: n . (n – 1) . (n – 2) ... . 3 . 2 . 1

Esses agrupamentos ordenados (diferem pela ordem) recebem o nome de permutações simples. O número de permutações simples de n elementos é dado por Pn = n!.

EXEMPLO:
Quantos são os anagramas (diferentes disposições das letras de uma palavra) da palavra ANEL? Resolução:

Há 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda, 2 possibilidades para a terceira e 1 possibilidade para a quarta posição. Sendo assim, concluímos que o número de anagramas da palavra se equivale a P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24.

Permutações com elementos repetidos. De maneira geral, podemos calcular o número de permutações de n elementos com as repetições α, β, θ,..., φ através da fórmula:


EXEMPLO:
Quantos anagramas possui a palavra ARARA?


A palavra ARARA possui 10 anagramas.

Combinações simples
É todo agrupamento não ordenado de elementos distintos. Tais agrupamentos são conhecidos também por conjuntos. Dado o conjunto A={2, 5, 7, 8}, podemos escrever todas as combinações simples de 2 (dois) elementos, que são: {2,5} {2,7} {2,8} {5,7} {5,8} {7,8}

Estes 6 (seis) agrupamentos são chamados de combinações simples de 4 elementos tomados 2 a 2. Este número de combinações é indicado por



Podemos calcular o número de combinações de n elementos tomados p a p através da seguinte fórmula:



Vídeos


 16032014 - AE - Prof. Alexandre Moura - Matemática - parte 1 de 6




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